Uno de lo avances mas importantes para la investigación de la estabilidad de los sistemas no lineales es la teoría introducida por el matemático ruso Alexandr Mikhailovich Lyapunov. Aunque su mayor trabajo fue primero publicado en 1892, este recibió poca atención fuera de Rusia hasta después de mucho tiempo. En esta sección discutiremos una de las técnicas más poderosas de Lyapunov para el análisis de estabilidad, llamado el método directo.

Considere el sistema autónomo (no dependiente explícitamente del tiempo, sin fuerzas):

(5.1)

El teorema de la estabilidad de Lyapunov puede ser aplicado de la forma siguiente.

Teorema:

Si una función definida y positiva V(a) puede ser encontrada tal que dV(a)/dt es negativa semi-definida, entonces el origen (a = 0) es estable para el sistema de la Ecuación 5.1. Si una función definida y positiva V(a) puede ser encontrada tal que dV(a)/dt es negativa definida, entonces el origen (a = 0) es asintóticamente estable. En cada caso, V es llamada la función de Lyapunov del sistema.

Usted podría pensar en V(a) como una función generalizada de energía. El concepto del teorema es que si la energía de un sistema  está continuamente decreciendo (dV(a)/dt negativa definida), entonces eventualmente se estabilizará en un estado de energía mínima. El motivo de Lyapunov era el de generalizar el concepto de energía, esto para que el teorema pudiera ser aplicado a sistemas donde la energía sea difícil de expresar o no tenga significado.

Debemos notar que el teorema sólo plantea que si una función apropiada de Lyapunov V(a) puede ser encontrada, el sistema es estable. No nos da información acerca de la estabilidad del sistema en aquellas situaciones en donde no se puede encontrar esa función.