Antes de adentrarnos en el Teorema de Invarianza de LaSalle, primero necesitamos introducir las siguientes definiciones.

Definiciones
Definición 1. Función de Lyapunov

Sea V una función continua y diferenciable de a . Si G es cualquier subconjunto de , decimos que V es una función de Lyapunov en G para el sistema da/dt = g(a) si

(5.2)

no cambia el signo en G.

Esta es una generalización de la definición previa de la función de Lyapunov, que usamos en el Teorema 1. Aquí no requerimos que la función sea positiva definida. De hecho, no hay un requerimiento directo en la función (excepto que sea continuamente diferenciable). El único requerimiento es en la derivada de V. La derivada no puede cambiar de signo en ninguna parte del conjunto G. Nótese que la derivada no cambiará de signo si es negativa semi-definida o si es positiva seme-definida.

Debemos hacer mención en este punto de que aún no hemos explicado como escoger el conjunto G. Usaremos las definiciones siguientes y teoremas para ayudarnos a seleccionar el mejor G para un sistema dado.

Definición 2. Conjunto Z

(5.3)

Aquí la “cerradura de G” incluye el interior y el límite de G. Este es un conjunto clave. Contiene todos esos puntos donde la derivada de la función de Lyapunov es cero. Más adelante desearemos determinar en que parte de este conjunto la trayectoria del sistema puede ser atrapada.

Definición 3. Conjunto de Invarianza

Un conjunto de puntos en es invariante con respecto a da/dt = g(a) si cada solución de da/dt = g(a) comenzando en ese conjunto permanece en el conjunto todo el tiempo.

Si es sistema entra en un conjunto de invarianza, entonces nunca puede salir de él.

Definición 8. Conjunto L

L es definido como el conjunto más grande de invarianza en Z.

Este conjunto incluye todos los puntos posibles donde la solución puede converger. La función de Lyapunov no cambia en L (porque su derivada es cero), y la trayectoria será atrapada en L (porque es un conjunto de invarianza). Ahora, si este conjunto tiene sólo un punto estable, entonces el punto es asintóticamente estable. Esto es, en esencia, lo que diría el teorema de LaSalle.

Teorema 1:
El Teorema de Invarianza de LaSalle amplía el Teorema de la Estabilidad de Lyapunov. Usaremos esto para diseñar redes Hopfield en el siguiente capítulo. El teorema es el siguiente.

Teorema 2:
Si V es una función de Lyapunov en G para da/dt = g(a), entonces cada solución a (t) que permanece en G para todo t>0 que se acerca a cuando . (G es una cuenca de atracción para L, que tiene todos los puntos estables.) Si todas las trayectorias están limitadas, entonces  cuando .
Si una trayectoria permanece en G, entonces o convergerá a L, o se irá al infinito. Si todas las trayectorias están limitadas, entonces todas las trayectorias convergerán a L.

Hay un corolario del teorema de LaSalle que usaremos extensivamente. Este involucra escoger el conjunto G en una forma especial.

Corolario.

Sea G un componente (un subconjunto conectado) de

(5.4)

Asumimos que G esta limitado,  en el conjunto G, y sea el conjunto Lº = cerradura  un subconjunto de G. Entonces, Lº es un atractor, y G está en su región de atracción.

El teorema de LaSalle y su corolario, son muy poderosos. No sólo nos pueden decir que puntos son estables (Lº), sino que también nos pueden dar una región parcial de atracción (G).

Para clarificar el teorema de Invarianza de LaSalle, regresemos al ejemplo del péndulo visto con anterioridad.